Ejemplo de tramo lineal
Dado que la dimensión del espacio de columnas es la misma que la dimensión del espacio de filas, puede seguir utilizando operaciones elementales de filas para calcular el rango. Sin embargo, las operaciones elementales de fila pueden cambiar el espacio de columnas (no la dimensión del espacio de columnas, sino el propio espacio de columnas sí). Así que hay que tener cuidado. En este caso, es muy fácil: restando dos veces la primera fila de la segunda fila, luego dividiendo la segunda fila por $3$, y sumándolo a la primera fila obtenemos:
Se calcula el rango de la matriz cuyas entradas son las coordenadas de los vectores del conjunto (con respecto a alguna base, digamos la base canónica en $\mathbf{R}^n$). El conjunto genera el espacio si el rango es igual a la dimensión del espacio. En su ejemplo, desea que el rango sea 2. El rango de una matriz se puede encontrar mediante la eliminación de Gauss.
Abarca un vector
En matemáticas y física, el término generador o conjunto generador puede referirse a cualquiera de una serie de conceptos relacionados. El concepto subyacente en cada caso es el de un conjunto más pequeño de objetos, junto con un conjunto de operaciones que se le pueden aplicar, que dan como resultado la creación de una colección mayor de objetos, denominada conjunto generado. Se dice entonces que el conjunto mayor ha sido generado por el conjunto menor. Suele ocurrir que el conjunto generador tenga un conjunto de propiedades más sencillo que el conjunto generado, lo que facilita su discusión y examen. Suele ocurrir que las propiedades del conjunto generador se conservan de algún modo en el acto de generación; del mismo modo, las propiedades del conjunto generado suelen reflejarse en el conjunto generador.
En el estudio de las ecuaciones diferenciales, y comúnmente las que se dan en física, se tiene la idea de un conjunto de desplazamientos infinitesimales que pueden extenderse para obtener una variedad, o al menos, una parte local de ella, mediante integración. El concepto general consiste en utilizar el mapa exponencial para tomar los vectores en el espacio tangente y extenderlos, como geodésicas, a un conjunto abierto que rodea el punto tangente. En este caso, no es raro llamar a los elementos del espacio tangente los generadores de la variedad. Cuando la variedad posee algún tipo de simetría, también existe la noción relacionada de carga o corriente, que a veces también se denomina generador, aunque, estrictamente hablando, las cargas no son elementos del espacio tangente.
Generador de términos matemáticos
En matemáticas y física, el término generador o conjunto generador puede referirse a cualquiera de una serie de conceptos relacionados. El concepto subyacente en cada caso es el de un conjunto más pequeño de objetos, junto con un conjunto de operaciones que se le pueden aplicar, que dan como resultado la creación de una colección más grande de objetos, llamada conjunto generado. Se dice entonces que el conjunto mayor ha sido generado por el conjunto menor. Suele ocurrir que el conjunto generador tenga un conjunto de propiedades más sencillo que el conjunto generado, lo que facilita su discusión y examen. Suele ocurrir que las propiedades del conjunto generador se conservan de algún modo en el acto de generación; del mismo modo, las propiedades del conjunto generado suelen reflejarse en el conjunto generador.
En el estudio de las ecuaciones diferenciales, y comúnmente las que se dan en física, se tiene la idea de un conjunto de desplazamientos infinitesimales que pueden extenderse para obtener una variedad, o al menos, una parte local de ella, mediante integración. El concepto general consiste en utilizar el mapa exponencial para tomar los vectores en el espacio tangente y extenderlos, como geodésicas, a un conjunto abierto que rodea el punto tangente. En este caso, no es raro llamar a los elementos del espacio tangente los generadores de la variedad. Cuando la variedad posee algún tipo de simetría, también existe la noción relacionada de carga o corriente, que a veces también se denomina generador, aunque, estrictamente hablando, las cargas no son elementos del espacio tangente.
Espacio vectorial generado por un conjunto
Sea V un subespacio de Rn para algún n. Una colección B = { v 1, v 2, …, v r } de vectores de V se dice que es una base para V si B es linealmente independiente y abarca V. Si alguno de estos criterios no se cumple, entonces la colección no es una base para V. Si una colección de vectores abarca V, entonces contiene suficientes vectores para que cada vector en V se pueda escribir como una combinación lineal de los de la colección. Si la colección es linealmente independiente, entonces no contiene tantos vectores como para que unos dependan de otros. Intuitivamente, una base tiene el tamaño adecuado: Es lo suficientemente grande como para abarcar el espacio, pero no tanto como para ser dependiente.
Ejemplo 1: La colección {i, j} es una base para R2, ya que abarca R 2 y los vectores i y j son linealmente independientes (porque ninguno es múltiplo del otro). Esto se llama la base estándar para R 2. Del mismo modo, el conjunto { i, j, k} se llama la base estándar para R 3, y, en general,
Ejemplo 3: El conjunto { i+j, j+k} no es una base para R 3. Aunque es linealmente independiente, no abarca todo R 3. Por ejemplo, no existe ninguna combinación lineal de i + j y j + k que sea igual a i + j + k.