Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores

Criterio del subespacio

Un subespacio es exactamente lo mismo que un espacio, salvo que no tenemos en mente un conjunto concreto de vectores. Este cambio de perspectiva es bastante útil, ya que es fácil producir subespacios que no son evidentemente tramos. Por ejemplo, el conjunto solución de la ecuación x

El espacio columna se define como un span, por lo que es un subespacio según el teorema anterior. Tenemos que comprobar que el espacio nulo es realmente un subespacio. En el apartado 2.4 ya vimos que el conjunto de soluciones de Ax

por lo que es un buen ejemplo de un tipo de subespacio que podemos definir sin tener en mente ningún conjunto de extensión. En otras palabras, es más fácil demostrar que el espacio nulo es un subespacio que demostrar que es un span (véase la demostración anterior). Sin embargo, para realizar cálculos, suele ser necesario encontrar un conjunto de extensión.

A la inversa, el conjunto de soluciones de cualquier sistema homogéneo de ecuaciones es precisamente el espacio nulo de la matriz de coeficientes correspondiente. Para encontrar un conjunto que abarque el espacio nulo, hay que resolver un sistema de ecuaciones homogéneas.

Espacio vectorial y subespacio en álgebra lineal

Sea V un subespacio de Rn para algún n. Una colección B = { v 1, v 2, …, v r } de vectores de V se dice que es una base para V si B es linealmente independiente y abarca V. Si alguno de estos criterios no se cumple, entonces la colección no es una base para V. Si una colección de vectores abarca V, entonces contiene suficientes vectores para que cada vector en V pueda escribirse como una combinación lineal de los de la colección. Si la colección es linealmente independiente, entonces no contiene tantos vectores como para que unos dependan de otros. Intuitivamente, una base tiene el tamaño adecuado: Es lo suficientemente grande como para abarcar el espacio, pero no tanto como para ser dependiente.

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Ejemplo 1: La colección {i, j} es una base para R2, ya que abarca R 2 y los vectores i y j son linealmente independientes (porque ninguno es múltiplo del otro). Esto se llama la base estándar para R 2. Del mismo modo, el conjunto { i, j, k} se llama la base estándar para R 3, y, en general,

Ejemplo 3: El conjunto { i+j, j+k} no es una base para R 3. Aunque es linealmente independiente, no abarca todo R 3. Por ejemplo, no existe ninguna combinación lineal de i + j y j + k que sea igual a i + j + k.

Base de un subespacio lineal

Subespacios unidimensionales en el espacio vectorial bidimensional sobre el campo finito F5. El origen (0, 0), marcado con círculos verdes, pertenece a cualquiera de los seis subespacios 1, mientras que cada uno de los 24 puntos restantes pertenece exactamente a uno; una propiedad que se mantiene para los subespacios 1 sobre cualquier campo y en todas las dimensiones. Todo F52 (es decir, un cuadrado de 5 × 5) se representa cuatro veces para una mejor visualización

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En matemáticas, y más concretamente en álgebra lineal, un subespacio lineal o subespacio vectorial[1][nota 1] es un espacio vectorial que es un subconjunto de un espacio vectorial mayor. Un subespacio lineal suele llamarse simplemente subespacio cuando el contexto sirve para distinguirlo de otros tipos de subespacios.

Si V es un espacio vectorial sobre un campo K y si W es un subconjunto de V, entonces W es un subespacio lineal de V si bajo las operaciones de V, W es un espacio vectorial sobre K. Equivalentemente, un subconjunto no vacío W es un subespacio de V si, siempre que w1, w2 sean elementos de W y α, β sean elementos de K, resulta que αw1 + βw2 está en W.[2][3][4][5][6]

Subespacio lineal

En matemáticas, el intervalo lineal (también llamado casco lineal[1] o simplemente intervalo) de un conjunto S de vectores (de un espacio vectorial), denotado intervalo(S),[2] se define como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores en S.[3]

Se puede caracterizar como la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a S, o como el subespacio más pequeño que contiene a S. El span lineal de un conjunto de vectores es, por tanto, un espacio vectorial en sí mismo. Los tramos pueden generalizarse a matroides y módulos.

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Para expresar que un espacio vectorial V es un espacio lineal de un subconjunto S, se suelen utilizar las siguientes frases: S abarca V, S es un conjunto que abarca V, V es abarcado/generado por S, o S es un generador o conjunto generador de V.

Dado un espacio vectorial V sobre un campo K, el ámbito de un conjunto S de vectores (no necesariamente infinito) se define como la intersección W de todos los subespacios de V que contienen a S. W se denomina subespacio abarcado por S, o por los vectores de S. A la inversa, S se denomina conjunto que abarca W, y decimos que S abarca W.