Funcion generadora de momentos binomial

Prueba de la distribución binomial

La media y la varianza de una variable aleatoria X con una distribución de probabilidad binomial pueden ser difíciles de calcular directamente. Aunque puede estar claro lo que hay que hacer al utilizar la definición del valor esperado de X y X2, la ejecución real de estos pasos es un complicado malabarismo de álgebra y sumas. Una forma alternativa de determinar la media y la varianza de una distribución binomial es utilizar la función generadora de momentos para X.

Comience con la variable aleatoria X y describa la distribución de probabilidad más específicamente. Realice n ensayos Bernoulli independientes, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de éxito p y una probabilidad de fracaso 1 – p. Por lo tanto, la función de masa de probabilidad es

Función generadora de momentos

En teoría de la probabilidad y estadística, la función generadora de momentos de una variable aleatoria de valor real es una especificación alternativa de su distribución de probabilidad. Por lo tanto, proporciona la base de una ruta alternativa a los resultados analíticos en comparación con el trabajo directo con funciones de densidad de probabilidad o funciones de distribución acumulativa. Existen resultados especialmente sencillos para las funciones generadoras de momentos de distribuciones definidas por las sumas ponderadas de variables aleatorias. Sin embargo, no todas las variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos.

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Además de las distribuciones con valores reales (distribuciones univariantes), las funciones generadoras de momentos pueden definirse para variables aleatorias con valores vectoriales o matriciales, e incluso pueden extenderse a casos más generales.

La función generadora de momentos de una distribución de valor real no siempre existe, a diferencia de la función característica. Existen relaciones entre el comportamiento de la función generadora de momentos de una distribución y propiedades de la distribución, como la existencia de momentos.

Valor esperado de una distribución binomial

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución binomial con parámetros n y p es la distribución de probabilidad discreta del número de aciertos en una secuencia de n experimentos independientes, cada uno con una pregunta sí-no, y cada uno con su propio resultado de valor booleano: acierto (con probabilidad p) o fallo (con probabilidad

). Un único experimento de éxito/fracaso también se denomina ensayo Bernoulli o experimento Bernoulli, y una secuencia de resultados se denomina proceso Bernoulli; para un único ensayo, es decir, n = 1, la distribución binomial es una distribución Bernoulli. La distribución binomial es la base de la popular prueba binomial de significación estadística[1].

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La distribución binomial se utiliza con frecuencia para modelizar el número de aciertos en una muestra de tamaño n extraída con reemplazamiento de una población de tamaño N. Si el muestreo se realiza sin reemplazamiento, las extracciones no son independientes, por lo que la distribución resultante es una distribución hipergeométrica, no binomial. Sin embargo, para N mucho mayor que n, la distribución binomial sigue siendo una buena aproximación y se utiliza ampliamente.

Función generadora de probabilidad

es la función generadora de momentos de \(X\) siempre que el sumatorio sea finito para algún intervalo de \(t\) alrededor de 0. Es decir, \(M(t)\) es la función generadora de momentos (“f.g.m.”) de \(X\) si existe un número positivo \(h\) tal que el sumatorio anterior existe y es finito para \(-h<t<h\).

Antes de demostrar la proposición anterior, recordemos que \(E(X), E(X^2), \ldots, E(X^r)\) se llaman momentos alrededor del origen. Es por esta razón, y la proposición anterior, que la función \(M(t)\) se llama una función generadora de momentos. Es decir, \(M(t)\) ¡genera momentos! En realidad, la proposición no cuenta toda la historia. De hecho, en general, el \(r^{th}\) momento sobre el origen se puede encontrar mediante la evaluación de la \(r^{th}\) derivada de la función generadora de momentos en \(t=0\). Es decir

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para \(-\infty<t<\infty\). Comparando la función generadora de momentos dada con la de una variable aleatoria binomial, vemos que \(X\) debe ser una variable aleatoria binomial con \(n = 20\) y \(p=frac{1}{4}\). Por tanto, la f.m.p. de \(X\) es: